2.2 Неперовы палочки
Меня делает по-настоящему счастливой только математика, снег, лёд, числа. Для меня система исчисления подобна человеческой жизни. Сначала у тебя есть простые числа, целые и положительные. Как числа, понятные маленькому ребёнку. Но процесс познания расширяется, и ребёнок открывает для себя сильные желания. Знаешь математический эквивалент желания? Отрицательные числа. Формализация ощущения, что тебе чего-то недостаёт. Затем ребёнок открывает для себя промежутки: между камнями, между людьми, между числами. И так появляются дроби. Но это похоже на безумие, потому что на этом всё не останавливается, никогда не останавливается. И есть числа, которые мы не можем даже начать понимать. Математика — это огромный, безграничный пейзаж: ты идёшь к горизонту, который всегда отступает. Как Гренландия.
Питер Хёг. Смилла и её чувство снега[1]
Абак, счёты и их аналоги неплохо справлялись с задачей облегчения счёта во времена Античности, но уже не могли удовлетворять потребностям производства, торговли и государственного управления в Новое время. Большие трудности при вычислениях вызывали умножение и деление больших чисел. Шотландскому математику Джону Неперу, 8-му лэрду Мерчистона [8th Laird of Merchiston], пришла в голову замечательная идея: заменить умножение на сложение, сопоставив при помощи специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии. При этом деление будет заменяться на гораздо более простое вычитание.
Впрочем, нельзя с уверенностью сказать, что эта идея возникла у Непера на ровном месте. Некоторые мысли витают в воздухе, а первооткрыватели всегда стоят на плечах великих предшественников. Не исключено, что Непер был знаком с написанной Михаэлем Штифелем в 1544 г. книгой «Полная арифметика» (Arithmetica integra), в которой была выражена идея логарифма: сопоставление умножения в одной шкале (базовой) сложению в другой (логарифмической). Штифель, однако, отказался развивать свою идею. «Тут можно было бы написать целую книгу об удивительных свойствах чисел, но я должен здесь остановиться и пройти мимо с закрытыми глазами», — писал он[2].
Впрочем, ещё задолго до Штифеля математики предпринимали шаги в этом направлении. Например, индийский математик Вирасена построил таблицы логарифмов для оснований 2, 3 и 4. Заслугой Штифеля был переход от целых показателей степени к произвольным рациональным. До него вплотную к этой идее подступали в XIV в. Николай Орем и в XV в. Никола Шюке. Фактически Штифелю для создания применимых на практике таблиц логарифмов не хватило всего одного элемента — десятичных дробей[3], которые, хотя и были изобретены более чем за 1000 лет до Штифеля, получили широкое распространение в Европе только после появления сочинения Симона Стевина «Десятая» (De Thiende, 1585). Таким образом, формальная пальма первенства в вопросе создания логарифмов досталась Неперу.
В 1614 г. Непер опубликовал в Эдинбурге книгу «Описание удивительной таблицы логарифмов» (Mirifici Logarithmorum Canonis Decriptio). Из 146 страниц этого труда 90 занимали таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов с точностью до седьмого знака для углов от 0 до 90°, с шагом 1′. В книге также содержалось краткое описание логарифмов и их свойств. Следует, однако, отметить, что все значения таблиц Непера содержали вычислительную ошибку после шестого знака. Впрочем, это не помешало революционной методике вычислений стать чрезвычайно популярной. Впоследствии составлением и уточнением логарифмических таблиц занялись многие европейские математики, включая Иоганна Кеплера. Книга Непера переиздавалась пять раз и была переведена на многие языки.
Помимо создания таблиц логарифмов Непер разработал оригинальное вычислительное устройство — палочки Непера (Napier’s Bones), или нéперовы палочки, — призванное облегчить решение задач умножения и деления (с помощью некоторых ухищрений это приспособление можно использовать также для извлечения квадратных и кубических корней). В 1617 г. он опубликовал работу под названием «Рабдология, или Две книги счёта с помощью палочек» (Rabdologiae, seu Numerationis per Virgulas Libri Duo), в которой дал описание устройства и методов его применения. Слово «рабдология» Непер произвёл от греческих слов ραβδoς (рабдос) — «стержень, палочка» и λoγoς (логос), в том числе означающего вычисление, счёт. Стало быть, рабдология означает счёт при помощи палочек.
Рис. 18. Палочки Непера
Интересно, что способ вычисления, заложенный в неперовых палочках, никак не связан с открытыми Непером логарифмами. В его основе лежит техника умножения, предложенная Матракчи Насухом и являющаяся, в свою очередь, модификацией древнего метода решётки.
Точно неизвестно, где и когда изобрели решётчатое умножение. Первые случаи его употребления фиксируются в арабских и европейских источниках с конца XIII в. Способ решётки называли также индийским, мусульманским или «умножением в клеточку». В Италии его назвали «джелозия», или «решётчатое умножение» (gelosia в переводе с итальянского — жалюзи, решётчатые ставни). И в самом деле, фигуры из чисел, появляющиеся в процессе умножения, чем-то похожи на ставни-жалюзи, которыми закрывали от солнца окна венецианских домов[4].
Матракчи Насух — весьма интересная личность в истории науки. Османский учёный, историк и миниатюрист[5] боснийского происхождения, он начал свою карьеру с того, что попал в столицу Блистательной Порты как часть «девширме»[6].
Несмотря на то что мусульмане не подлежали девширме, некоторые небогатые мусульманские родители усматривали в подобной практике возможность для сыновей сделать карьеру. В таких случаях они предлагали соседям-христианам во время набора по девширме сдать собственного ребёнка под видом их сына[7]. Для боснийских мусульман было даже введено официальное исключение, предоставляющее им право отдавать детей по девширме[8]. Именно таким образом Насух и попал в пехотный корпус янычар, где овладел навыками фехтования и стрельбы. Развитый интеллект помог Насуху освоить несколько иностранных языков, что позволило ему попасть на флот после обучения в Эндеруне — дворцовом центре подготовки управленческих кадров.
Прозвище Матракчи, или Матраки, Насух получил в честь изобретённой им игры матрак — боёв на обтянутых кожей деревянных палках (исполняющих роль меча) и с деревянными же, также покрытыми кожей щитами. Матрак (в переводе с турецкого значит «удивительный») получил широкое распространение в Османской империи, на протяжении веков в него играли не только солдаты, но даже султаны[9]. Османский путешественник Эвлия Челеби в своей «Книге путешествий» (Seyahatnâme) утверждал, что султан Мурад IV был мастером игры в матрак[10].
В 1533 г. Насух завершил и преподнёс султану Сулейману Великолепному труд под названием «Трактат о вычислениях» (Umdetü’l Hisâb)[11]. Работа представляла свод необходимых для счетоводов и студентов XVI в. математических знаний. К ним относились арабский алфавит, индийские цифры, правила сложения, вычитания и деления, денежный учёт, единицы измерения, принципы учёта недвижимости и налогов, решения задач о скорости движения и так далее. Среди прочего описывается метод умножения на бумаге, наиболее близкий к использованному в неперовых палочках полвека спустя.
Палочки Непера — своеобразное промежуточное звено, заполняющее пробел между вычислениями на бумаге и механическими вычислительными машинами. Эффект, произведённый их появлением, оказался весьма существенным. Родившийся через десять лет после смерти Непера Джозеф Моксон, гидрограф английского короля Карла II, издатель математических книг и карт, создатель первого английского математического словаря и первого детального руководства по методам печати, в предисловии к одной из своих книг поместил хвалебное стихотворение, посвящённое неперовым палочкам:
Religious Romanists strongly maintain
That by the Bones of their dead Saints are wrought
Wonders; ’tis strange! Yet they the purses drain
Of them that to their fond Belief are brought.
Bit we’l regret those fancies, let them go
With their dead Trump’ry, here’s Lord Napier’s Bones
Which Ile ensure you will more wonders show
Than all those Reliques they count holy ones.
Canst thou but Add, then thou maist Multiply,
And if Subtract, ’twill teach thee to Divide,
And likewise to Gauge Vessels suddenly,
And measure both Glass, Board and Land beside[12].
Религиозные католики уверенно утверждают,
Что кости их умерших святых творят
Чудеса; это странно! Тем не менее они истощают кошельки
Тех, которые привержены их любимой вере.
Немного пожалеем об этих фантазиях, оставим их
С их мертвечиной, вот костяшки лорда Непера,
Которые наверняка покажут вам больше чудес,
Чем все те реликвии, которые они [католики] считают святыми.
Если можешь складывать, то сможешь умножать,
А если вычитать — они научат делить,
И подобны мерным сосудам внезапно,
И измерят и стекло, и доски, и землю рядом.
- ↑ * Пер. Е. Красновой.
- ↑ Математика XVII столетия (1970) // История математики в 3 т / под ред. А. П. Юшкевича. — М.: Наука. Т. II. С. 54–48 // http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat2.htm
- ↑ Клейн Ф. (1987). Элементарная математика с точки зрения высшей. — М.: Наука. Т. I. Арифметика. Алгебра. Анализ. С. 210 // http://ilib.mccme.ru/djvu/klejn-1.htm
- ↑ Карпушкина Н. (2011). Решётчатое умножение // Наука и жизнь. №2 // https://www.nkj.ru/archive/articles/19204/
- ↑ * Османская миниатюра — форма искусства в Османской империи, разновидность живописи, изображающая сцены войн, охоты, значимых для двора и страны событий, уклад и образ жизни людей.
- ↑ ** «Девширме» («налог кровью») — система принудительного набора мальчиков из христианских семей для их последующего воспитания и дальнейшей службы в роли «капыкулу» (kapıkulları, «государевы рабы») — лиц рабского статуса на государственной и военной службе. Большая часть чиновников и военных Османской империи в XV–XVI вв. состояла именно из призванных по девширме лиц.
- ↑ Stoianovich T. (2015). Balkan Worlds: The First and Last Europe: The First and Last Europe. Taylor & Francis // https://books.google.ru/books?id=lKVzCQAAQBAJ
- ↑ Woodhead C. (2011). The Ottoman World. Taylor & Francis // https://books.google.ru/books?id=jt_FBQAAQBAJ
- ↑ Corlu M. S., Burlbaw L. M., Capraro R. M., Han S., Çorlu M. A. (2010). The Ottoman palace school and the man with multiple talents, Matrakçı Nasuh / Journal of the Korea Society of Mathematical Education Series D: Research in Mathematical Education, Vol. 14, Iss. 1, pp. 19–31 // https://www.academia.edu/480968/Corlu_M._S._Burlbaw_L._M._Capraro_R._M._Han_S._and_%C3%87orlu_M._A._2010_._The_Ottoman_palace_school_and_the_man_with_multiple_talents_Matrak%C3%A7%C4%B1_Nasuh._Journal_of_the_Korea_Society_of_Mathematical_Education_Series_D_Research_in_Mathematical_Education_14_1_19_31
- ↑ Celebi E., von Hammer-Purgstall J. (1834). Narrative of Travels in Europe, Asia, and Africa in the Seventeenth Century. Oriental Translation Fund // https://books.google.ru/books?id=66hCAAAAcAAJ
- ↑ Karagöz A. (2013). Nasûh Es-Silâhî'nin Umdetü'l Hisâb Adlı Eseri (89b-179a) (İnceleme-Metin-Dizin-Tıpkıbasım) // https://tezarsivi.com/nasuh-es-silahinin-umdetul-hisab-adli-eseri-89b-179a-inceleme-metin-dizin-tipkibasim
- ↑ Цит. по: Bulletin of the Scientific Instrument Society No. 76 (2003) // https://static1.squarespace.com/static/54ec9b40e4b02904f4e09b74/t/5692c4becbced6b74bcb6067/1452459215241/SIS_Bulletin_076.pdf